Дифференциальные уравнения неразрывности движения жидкости

Рассмотрим движение со скоростью u некоторого произвольного объёма W плотностью ?ср.  Масса этого объёма равна M = ?срW. Условием сплошности (неразрывности) является:

т.е. масса объёма W не меняется во времени. Однако неизменность массы не означает, что составляющие, определяющие массу тоже должны быть постоянны. Причём, в общем случае изменяются во времени как объём W, так и плотность жидкости ?. Тогда можно записать:

Первое слагаемое в этом уравнении 

 описывает изменение массы за счёт изменения плотности при постоянном объёме, а второе слагаемое  описывает изменение массы за счёт  изменения объёма при постоянной плотности.

Учитывая то, что

  и , подставим эти значения в последнее уравнение и преобразуем его к виду:

Разделим это уравнение на M, приведя его тем самым к уравнению для единичной массы:

.

Первое слагаемое показывает изменение плотности во времени, т.е. в процессе движения (по мере перемещения) жидкости. Второе слагаемое – изменение объёма в процессе движения.

Рассмотрим подробно второе слагаемое. Для этого возьмём некоторую

произвольную точку А с координатами X,Y,Z. Через неё (и вблизи неё) в момент времени t течёт жидкость со скоростью u. В проекции на оси координат в точке А жидкость имеет скорости ux, uy, uz, соответственно. Выделим вокруг точки А

бесконечно малый объём в форме параллелепипеда с размерами dx, dy, dz. Будем считать этот объём неподвижным, а жидкость -  протекающей через него. Определим величину объёма жидкости, которая поступает в рассматриваемый объём и вытекает из него за время dt.

В проекции на ось X в точке А горизонтальная составляющая скорости равна ux. В точке А2 (расположенной на грани dy – dz), находящейся на расстоянии

 от A, горизонтальная составляющая будет:

В точке А1 (расположенной на другой грани dy – dz) горизонтальная составляющая этой скорости будет равна:

В проекции на ось Y в точке А составляющая скорости будет равна  uy. В точке, расположенной в центре грани dx – dz, находящейся на расстоянии   от A эта составляющая  скорости будет:



В точке, расположенной в центре противоположной  грани dx – dz и находящейся на расстоянии   от A, эта составляющая  скорости будет:



Аналогично в проекции на ось Z в точке А составляющая скорости будет равна  uz. В точке, расположенной в центре грани dx – dy и находящейся на расстоянии   от A, эта составляющая  скорости примет вид:



В точке, расположенной в центре противоположной грани dx – dy, и находящейся на расстоянии   от A  составляющая  скорости будет:



В последних выражениях частные производные  показывают изменение  величин  ux, uy и  uz соответственно, приходящиеся на единицу длины, измеренную вдоль оси, проходящей через точку А и параллельно соответствующим координатным осям.

Объёмы жидкости W…(вых), вытекющей через соответствующие грани dy – dz, dx – dz, dx – dy, будут равны произведениям соответствующих проекций скоростей на площади граней:







Аналогично объёмы жидкости W…(вх), входящей через соответствующие грани dy – dz,  dx – dz,  dx – dy  будут равны проекциям соответствующих скоростей на такие же по размерам площади граней:







Легко видеть, что изменение объёмов dW… жидкости, проходящей через противолежащие грани за время dt, будут соответственно равны:



Остальные два выражения запишем по аналогии без подробного вывода.





Полный объём жидкости, протекающей за время dt через выбранный произвольным образом неподвижный элементарный объём пространства dx, dy, dz, будет равен сумме объёмов жидкости, протекающей через все три пары противолежащих граней



Подставив в последнее выражение значения соответствующих объёмов , получим:

.

В этом выражении произведение dxdydz ни что иное, как весь объём жидкости W, протекающей через рассматриваемый параллелепипед за время dt. Таким образом, подставив эту формулу в  исходное выражение  (второе слагаемое – учитывающее изменение объёма в законе сохранения массы), анализом которого мы занимаемся,  получим:



   

Равенство нулю этого выражения называют уравнением  неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме и записывается следующим образом:



К такому же выводу можно прийти, основываясь на следующих рассуждениях: если считать жидкость несжимаемой, то условием неразрывности (сплошности) потока можно считать равенство втекающих и вытекающих объёмов, т.е. изменение объёма должно равняться 0. В выражении для dW величины обязательно имеют положительные (не нулевые) значения. Тогда для того, чтобы , нужно выполнение следующего условия:  которое и есть уже упомянутое выше уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Если в полученное уравнение неразрывности добавить слагаемое, учитывающее изменение плотности жидкости во времени , получим формулу, выражающую изменение единичной массы жидкости протекающей за время dt через объём dx, dy, dz. Приравняв это уравнение к нулю:



получим уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Его физический смысл заключается в том, что изменение плотности во времени обратно изменению объёма жидкости во времени. Объём же меняется из-за изменения скоростей во времени, т.е. вследствие изменения формы потока.

Последнее выражение есть первое уравнение (условие) в системе дифференциальных уравнений, описывающих движение потока жидкости.




Содержание раздела

---