Ламинарное течение в плоских зазорах

Рассмотренные выше зависимости, как уже отмечалось, действительны для труб круглого сечения, но они нуждаются в уточнении, если форма сечения потока отличается от окружности. Такие потоки имеют место в каналах и проходных щелях гидроаппаратуры, в гидромашинах и во многих других устройствах.

Вначале рассмотрим ламинарное течение в плоском зазоре с неподвижными стенками, расстояние между которыми равно a.

Начало системы координат для простоты поместим в середину зазора. В этом зазоре рассмотрим два поперечных сечения потока 1 и 2, находящихся на расстоянии l друг от друга. Ширину рассматриваемой части потока обозначим

. На участке l выделим объём жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющего размеры

, и симметрично расположенного в зазоре. Условием равномерного движения параллелепипеда будет являться равенство сил давления и сил вязкого трения, действующих в направлении движения

Знак « - » перед силой вязкого трения означает, что она направлена против движения. Знак « - » перед градиентом скорости означает, что производная

отрицательна, т.е. c ростом y, в принятой системе отсчёта, скорость слоя жидкости уменьшается. По аналогии с зависимостями для трубы круглого сечения примем

, поэтому приращение скорости можно представить в виде:

После интегрирования по y получим

Постоянную интегрирования C определим из условий движения жидкости у поверхности стенки, где

, а

. Тогда

После подстановки C в выражение для скорости элементарного слоя жидкости u примет вид

Последняя формула определяет то, как связана скорость жидкости с расстоянием от середины потока, т.е. от положения слоя жидкости в зазоре. Зная это, нетрудно определить расход жидкости в зазоре. Для этого определим сначала элементарный расход dQ через площадку высотой (толщиной) dy и шириной b, который будет равен

После интегрирования по y в пределах половины высоты щели от

до

, получим половину расхода через щель:

Тогда полный расход через щель будет в два раза больше:

Если учесть, что средняя скорость в щели будет

, то потери напора в щели с плоскими стенками составят:

Содержание раздела